برای حل این سوال ابتدا باید چند نکته کلیدی را مورد بررسی قرار دهیم.
1. **نیروی مقاومت هوا**: وقتی که جسمی در حال سقوط است، نیروی مقاومتی که توسط هوا به جسم وارد میشود، با افزایش سرعت جسم افزایش پیدا میکند. این نیروی مقاوم معمولاً به صورت خطی با سرعت جسم در ارتباط است.
2. **تندی نهایی**: اگر جسمی با تندی اولیه مشخص رها شود، تندی نهایی آن به عوامل مختلفی وابسته است، از جمله جرم جسم، نیروی گرانشی و نیروی مقاومت هوایی که بر آن وارد میشود.
3. **تغییر جرم**: اگر بخواهیم تندی نهایی جسم را زیاد کنیم، میتوانیم از طریق افزایش جرم جسم این کار را انجام دهیم. افزایش جرم باعث افزایش نیروی گرانش میشود که نسبت به نیروی مقاومت هوا مؤثرتر خواهد بود.
حالا بیایید محاسبه کنیم که برای افزایش تندی نهایی جسم به مقدار دو برابر، باید جرم آن را چقدر افزایش دهیم.
فرض کنیم که تندی نهایی اول 4 متر بر ثانیه باشد و ما میخواهیم که تندی نهایی جدید، 2 برابر یعنی 8 متر بر ثانیه باشد.
برای جسمی با جرم \( m \) و ارتفاع \( h \)، میدانیم که وقتی جسم به زمین میرسد، تندی آن میتواند با معادله زیر محاسبه شود:
\[
v = \sqrt{2gh}
\]
ما داریم:
\[
v_1 = \sqrt{2g \cdot h} \quad \text{(برای جرم اولیه)}
\]
برای جرم جدید \( m' = km \) که \( k \) به عنوان ضریب افزایش جرم است:
\[
v_2 = \sqrt{2g \cdot h} \cdot k
\]
حال، برای دو برابر کردن تندی، مینویسیم:
\[
v_2 = 2v_1
\]
بنابراین:
\[
\sqrt{2gh} \cdot k = 2 \sqrt{2gh}
\]
با سادهسازی میتوانیم بنویسیم:
\[
k = 2
\]
این به این معنی است که باید جرم را به 2 برابر (یعنی 100 درصد) افزایش دهیم تا تندی جسم در زمان رسیدن به سطح زمین دو برابر شود.
بنابراین، پاسخ نهایی این است که **جرم جسم باید 100 درصد افزایش یابد** تا تندی جسم در هنگام رسیدن به سطح زمین دو برابر شود.
